Главная
Статьи





21.05.2022


21.05.2022


21.05.2022


20.05.2022


20.05.2022






Связное двоеточие

21.01.2022

Связное двоеточие (двоеточие Александрова) — конечное топологическое пространство из двух точек определённого типа; наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Определяется как топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов ∘ {displaystyle circ } («открыто») и ∙ {displaystyle ullet } («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

  • ∅ {displaystyle varnothing } — пустое множество;
  • { ∘ } {displaystyle {circ }} — множество из одного элемента «открыто»;
  • { ∘ , ∙ } {displaystyle {circ ,ullet }} — всё пространство.

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только { ∘ } {displaystyle {circ }} , а замкнутым — только { ∙ } {displaystyle {ullet }} . Мы видим, что точка ∙ {displaystyle ullet } не имеет окрестностей, кроме всего пространства; следовательно, пространство нарушает аксиому T1, в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка ∘ {displaystyle circ } не является замкнутым подмножеством.

Отображение F {displaystyle F} из топологического пространства X {displaystyle X} в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз F − 1 ( ∘ ) {displaystyle F^{-1}(circ )} точки { ∘ } {displaystyle {circ }} открыт в X {displaystyle X} (или, что то же самое, прообраз F − 1 ( ∙ ) {displaystyle F^{-1}(ullet )} точки { ∙ } {displaystyle {ullet }} замкнут в X {displaystyle X} ). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия. Связное двоеточие является связным и также линейно связным пространством.

Александровский куб — степень связного двоеточия F m {displaystyle F^{m}} — является универсальным пространством для T 0 {displaystyle T_{0}} -пространств веса m {displaystyle m} при m ⩾ ℵ 0 {displaystyle mgeqslant aleph _{0}} , то есть любое T 0 {displaystyle T_{0}} -пространство веса m {displaystyle m} гомеоморфно подпространству F m {displaystyle F^{m}} .