Главная
Статьи





25.05.2022


25.05.2022


25.05.2022


25.05.2022


25.05.2022






Гипербола Киперта

21.01.2022

Гипербола Киперта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид.

Определение через изогональное сопряжение

Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.

  • Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Иначе говоря, гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая оси Брокара данного треугольника.

Определение через треугольники в трилинейных координатах

Определение через треугольники в трилинейных координатах:

Если три треугольника X B C {displaystyle XBC} , Y C A {displaystyle YCA} и Z A B {displaystyle ZAB} построены на сторонах треугольника A B C {displaystyle ABC} , являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые A X {displaystyle AX} , B Y {displaystyle BY} и C Z {displaystyle CZ} пересекаются в одной точке N {displaystyle N} . Тогда гипербола Киперта может быть определена виде геометрического места точек N {displaystyle N} (см. рис.).

Если общий угол при основании равен θ {displaystyle heta } , то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:

  • X ( − sin ⁡ θ : sin ⁡ ( C + θ ) : sin ⁡ ( B + θ ) ) {displaystyle X(-sin heta :sin(C+ heta ):sin(B+ heta ))}
  • Y ( sin ⁡ ( C + θ ) : − sin ⁡ θ : sin ⁡ ( A + θ ) ) {displaystyle Y(sin(C+ heta ):-sin heta :sin(A+ heta ))}
  • Z ( sin ⁡ ( B + θ ) : sin ⁡ ( A + θ ) : − sin ⁡ θ ) {displaystyle Z(sin(B+ heta ):sin(A+ heta ):-sin heta )}

Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта

( cosec ⁡ ( A + θ ) : cosec ⁡ ( B + θ ) : cosec ⁡ ( C + θ ) ) {displaystyle (operatorname {cosec} (A+ heta ):operatorname {cosec} (B+ heta ):operatorname {cosec} (C+ heta ))} .

Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах

Геометрическое место точек N {displaystyle N} при изменении угла при основании треугольников θ {displaystyle heta } между − π / 2 {displaystyle -pi /2} и π / 2 {displaystyle pi /2} является гиперболой Киперта с уравнением

sin ⁡ ( B − C ) x + sin ⁡ ( C − A ) y + sin ⁡ ( A − B ) z = 0 {displaystyle {frac {sin(B-C)}{x}}+{frac {sin(C-A)}{y}}+{frac {sin(A-B)}{z}}=0} ,

где x {displaystyle x} , y {displaystyle y} , z {displaystyle z} — трилинейные координаты точки N {displaystyle N} в треугольнике.

Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта

Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника:

Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта

Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i):

  • для i=2, (Центроид треугольника),
  • i=4 (Ортоцентр),
  • i=10 (Центр Шпикера; то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC),
  • i=13 (первая точка Ферма), i=14 (вторая точка Ферма),
  • i=17 (первая точка Наполеона), i=18 (вторая точка Наполеона),
  • i=76 (третья точка Брокара),
  • i=83 (точка, изогонально сопряжённая серединной точке между точками Брокара),
  • i=94, 96,
  • i=98 (Точка Тарри=Tarry point),
  • i=226, 262, 275, 321,
  • i=485 (Внешняя точка Вектена), i=486 (Внутренняя точка Вектена),
  • i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
  • i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point),
  • i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
  • i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point),
  • i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point),
  • i=2986, 2996

Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000)

Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма.

История

Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934).

Свойства

  • Гипербола Киперта — равносторонняя или равнобочная (то есть её асимптоты перпендикулярны), следовательно, её центр, обозначенный в энциклопедии центров треугольника как Х(115), лежит на окружности Эйлера.