Псевдоголоморфная кривая

Псевдоголоморфная кривая (или J-голоморфная кривая) — гладкое отображение из Римановой поверхности в почти комплексное многообразие, удовлетворяющее уравнениям Коши — Римана.

История

Псевдоголоморфные кривые были введены в 1985 году Михаилом Громовым, с тех пор они произвели революцию в изучении симплектических многообразий. В частности, теорема о симплектическом верблюде была доказана с использованием псевдоголоморфных кривых.

Они также используются в определении инвариантов Громова — Виттена, гомологий Флоера и играют важную роль в теории струн.

Определение

Пусть X {displaystyle X} почти комплексное многообразие с почти комплексной структурой J {displaystyle J} . Пусть C {displaystyle C} гладкая риманова поверхность (также называется комплексной кривой) с комплексной структурой j {displaystyle j} . Псевдоголоморфная кривая в X {displaystyle X} представляет собой отображение f : C → X {displaystyle f:C o X} , которое удовлетворяет условию

J ∘ d f = d f ∘ j , {displaystyle Jcirc df=dfcirc j,}

То есть дифференциал d f {displaystyle df} комплексно-линейный.

Замечания

• В частности, J {displaystyle J} отображает касательные пространства T x f ( C ) ⊆ T x X {displaystyle T_{x}f(C)subseteq T_{x}X}

на себя.

• Несмотря на то, что псевдоголоморфные кривые определяются для произвольного почти комплексного многообразия, основные приложения псевдоголоморфных кривых приходятся на симплектические многообразия с совместимой почти комплексной структурой J {displaystyle J}
  • То есть такой, что следующее неравенство выполняется для всех ненулевых касательных векторов v {displaystyle v} ω ( v , J v ) > 0 , {displaystyle omega (v,Jv)>0,}

где ω {displaystyle omega } обозначает симплектическую форму.

• В частности

( v , w ) = 1 2 ( ω ( v , J w ) + ω ( w , J v ) ) {displaystyle (v,w)={frac {1}{2}}left(omega (v,Jw)+omega (w,Jv) ight)} определяет Риманову метрику.

• Для данного ω {displaystyle omega } , пространство всех совместимых почти комплексных структур J {displaystyle J} непусто и стягиваемо.

Свойства

• Если псевдокомплексная структура J : T p → T p {displaystyle Jcolon T_{p} o T_{p}} для симплектической формы с ассоциированной римановой метрикой g {displaystyle g} то любая J {displaystyle J} -голоморфная кривая является минимальной поверхностью.
  • Более того, любая J {displaystyle J} -голоморфная кривая минимизирует площадь в своём гомологическом классе и ω {displaystyle omega } является её калибровочной формой.

Список литературы

• Под редакцией Элиашберга Я. и Трейнора Л. Лекции по симплектической геометрии и топологии. — МЦНМО, 2008. — 424 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-130-8.
• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
• M. Gromov. Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1985. — Vol. 82. — P. 307—347. Архивировано 13 апреля 2018 года.
• Donaldson, Simon K. What Is...a Pseudoholomorphic Curve? (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : journal. — 2005. — October (vol. 52, no. 9). — P. 1026—1027.