Качающийся факториал

Качающийся факториал (англ. swinging factorial) — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел Z + {displaystyle mathbb {Z} ^{+}} . Обозначается n ≀ {displaystyle nwr } , произносится эн качающийся факториал.

Качающийся факториал натурального числа n {displaystyle n} определяется следующей формулой:

n ≀ = n ! ⌊ n 2 ⌋ ! 2 = ∏ i = 1 n i ⌊ ∏ i = 1 n 2 i ⌋ 2 {displaystyle nwr ={frac {n!}{leftlfloor {frac {n}{2}} ight floor !^{2}}}={frac {prod _{i=1}^{n}i}{leftlfloor prod _{i=1}^{frac {n}{2}}i ight floor ^{2}}}}

Данная дробь всегда будет целым числом по простой причине — она кратна биномиальному коэффициенту ( n ⌊ n 2 ⌋ ) {displaystyle {inom {n}{leftlfloor {frac {n}{2}} ight floor }}} , который равен в точности n ! ⌊ n 2 ⌋ ! ⋅ ⌈ n 2 ⌉ ! {displaystyle {frac {n!}{leftlfloor {frac {n}{2}} ight floor !cdot leftlceil {frac {n}{2}} ight ceil !}}} .

Из первой формулы можем получить новое определение факториала натурального числа n {displaystyle n} :

n ! = n ≀ ⌊ n / 2 ⌋ ! 2 {displaystyle n!=nwr lfloor n/2 floor !^{2}}

Качающийся факториал назван именно так из-за его графика функции, напоминающий функцию качения.

Разложение на простые множители

Доказательство (предложено здесь)

Последовательность качающегося факториала в OEIS

Последовательность качающегося факториала в Онлайн-Энциклопедии целочисленных последовательностей указана под кодировкой A056040.

Ниже приведены первые 10 значений функции качающегося факториала: