Главная
Статьи





26.05.2022


26.05.2022


26.05.2022


26.05.2022


26.05.2022






Образ меры под действием отображения

23.01.2022

Образ меры — естественная конструкция дающая меру на области значений отображения по мере на области определения. Если представлять себе меру как распределение массы, а отображение как перенос точкек из одного пространства в другое, то масса множества это суммарная масса попадающих в него точек.

Образ меры μ {displaystyle mu } отображения f {displaystyle f} обычно обозначается f ∗ μ {displaystyle f_{*}mu } , но иногда используется обозначение f # μ {displaystyle f_{#}mu } .

Определение

Пусть задано измеримое отображение f : ( X , Σ 1 ) → ( Y , Σ 2 ) {displaystyle f:(X,Sigma _{1}) o (Y,Sigma _{2})} измеримых пространств и мера μ {displaystyle mu } на ( X , Σ 1 ) {displaystyle (X,Sigma _{1})} , её образом под действием f {displaystyle f} называется мера f ∗ μ {displaystyle f_{*}mu } на ( Y , Σ 2 ) {displaystyle (Y,Sigma _{2})} , определённая как

( f ∗ μ ) ( A ) = μ ( f − 1 ( A ) ) ∀ A ⊂ Y , A ∈ Σ 2 . {displaystyle (f_{*}mu )(A)=mu (f^{-1}(A))quad forall Asubset Y,,Ain Sigma _{2}.}

Свойства

Для функции f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} между метрическими пространствами, снабжённых борелевскими σ {displaystyle sigma } -алгебрами, меру можно рассматриваеть как функционал на непрерывных ограниченных функциях. В этом случае определение образа меры может быть переписано как

∫ Y φ d ( f ∗ μ ) = ∫ X φ ∘ f d μ . {displaystyle int limits _{Y}varphi ,d(f_{*}mu )=int limits _{X}varphi circ f,dmu .}

для любой непрерывной функции φ {displaystyle varphi } с компактым носителем.