Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида

Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида, или отсечённый икосаэдр — один из многогранников Джонсона (J11, по Залгаллеру — М3+А5).

Составлена из 16 граней: 15 правильных треугольников и 1 правильного пятиугольника. Пятиугольная грань окружена пятью треугольными; среди треугольных 5 граней окружены пятиугольной и двумя треугольными, другие 10 — тремя треугольными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и треугольной гранями, остальные 20 — между двумя треугольными.

У скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды 11 вершин. В 5 вершинах сходятся пятиугольная грань и три треугольных; в остальных 6 — пять треугольных.

Скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из правильной пятиугольной пирамиды (J2) и правильной пятиугольной антипризмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основание пирамиды к одному из оснований антипризмы.

Кроме того, скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из икосаэдра, отсекши от того пятиугольную пирамиду. Вершины полученного многогранника — 11 из 12 вершин икосаэдра, рёбра — 25 из 30 рёбер икосаэдра; отсюда ясно, что у скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосаэдра.

Метрические характеристики

Если скрученно удлинённая пятиугольная пирамида имеет ребро длины a {displaystyle a} , её площадь поверхности и объём выражаются как

S = 1 4 ( 15 3 + 25 + 10 5 ) a 2 ≈ 8,215 6679 a 2 , {displaystyle S={frac {1}{4}}left(15{sqrt {3}}+{sqrt {25+10{sqrt {5}}}} ight)a^{2}approx 8{,}2156679a^{2},} V = 1 24 ( 25 + 9 5 ) a 3 ≈ 1,880 1922 a 3 . {displaystyle V={frac {1}{24}}left(25+9{sqrt {5}} ight)a^{3}approx 1{,}8801922a^{3}.}

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R = 1 4 10 + 2 5 a ≈ 0,951 0565 a ; {displaystyle R={frac {1}{4}}{sqrt {10+2{sqrt {5}}}};aapprox 0{,}9510565a;}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ = 1 4 ( 1 + 5 ) a ≈ 0,809 0170 a . {displaystyle ho ={frac {1}{4}}left(1+{sqrt {5}} ight)aapprox 0{,}8090170a.}