Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное вейвлет-преобразование (англ. continuous wavelet transform, CWT) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию x ( t ) {displaystyle x(t)} , определенную на временной оси переменной t {displaystyle t} , в функцию

γ ( τ , s ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) 1 s ψ ∗ ( t − τ s ) d t {displaystyle gamma ( au ,s)=int limits _{-infty }^{+infty }x(t){frac {1}{sqrt {s}}}psi ^{*}left({frac {t- au }{s}} ight)dt}

двух переменных τ {displaystyle au } и s {displaystyle s} . Здесь τ {displaystyle au } представляет параллельный перенос, s {displaystyle s} представляет масштаб и ψ ( t ) {displaystyle psi (t)} — материнский вейвлет (mother wavelet).

Изначальная функция может быть восстановлена с помощью обратного преобразования

x ( t ) = 1 C ψ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ γ ( τ , s ) 1 s ψ ( t − τ s ) d τ d s s 2 {displaystyle x(t)={frac {1}{C_{psi }}}int limits _{-infty }^{+infty }int limits _{-infty }^{+infty }gamma ( au ,s){frac {1}{sqrt {s}}}psi left({frac {t- au }{s}} ight)d au {frac {ds}{s^{2}}}}

где

C ψ = 2 π ∫ − ∞ + ∞ | Ψ ( ζ ) | 2 | ζ | d ζ {displaystyle C_{psi }=2pi int limits _{-infty }^{+infty }{frac {left|Psi (zeta ) ight|^{2}}{left|zeta ight|}}dzeta }

называется постоянной допустимости и Ψ {displaystyle Psi } — преобразование Фурье от ψ {displaystyle psi } . Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

C ψ < + ∞ {displaystyle C_{psi }<+infty } .

Также следует отметить, что критерий допустимости подразумевает, что Ψ ( 0 ) = 0 {displaystyle Psi (0)=0} , так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:

ψ s , τ ( t ) = 1 s ψ ( t − τ s ) {displaystyle psi _{s, au }(t)={frac {1}{sqrt {s}}}psi left({frac {t- au }{s}} ight)} .