Свойство разделения дисков

Свойство разделения дисков (или DDP от англ. disjoint discs property) — ключевое свойство топологических многообразий размерности 5 и выше, которое выделяет их из класса гомологических многообразий.

История

Идея определения восходит к теореме о двойной надстройке.

Формулировка

Метрическое пространство X {displaystyle X} удовлетворяет свойству разделения дисков, если каждая пара отображений стандартного 2-диска в X {displaystyle X} может быть аппроксимирована произвольно близко парой отображений с дизъюнктными образами.

Основная теорема

• Пусть q ⩾ m ⩾ 5 {displaystyle qgeqslant mgeqslant 5} , и замкнутое множество X ⊂ R q {displaystyle Xsubset mathbb {R} ^{q}} таково, что
  • X {displaystyle X} является ретрактом некоторой своей окрестности в R q {displaystyle mathbb {R} ^{q}} ,
  • X {displaystyle X} является m-мерным гомологическим многообразием и
  • X {displaystyle X} удовлетворяет свойству разделения дисков.

Тогда X {displaystyle X} является m-мерным топологическим многообразием.

Более того, если p : M → X {displaystyle pcolon M o X} — клеточноподобное разрешение X {displaystyle X} , то p {displaystyle p} аппроксимируется гомеоморфизмами. В частности, X {displaystyle X} гомеоморфно M {displaystyle M} .

Следствия

• Если симплициальный комплекс S {displaystyle S} является гомологическим многообразием и линки всех его вершин односвязны, то S {displaystyle S} гомеоморфен многообразию.