Главная
Статьи





08.11.2022


07.11.2022


07.11.2022


07.11.2022


06.11.2022






Степень многочлена

02.08.2022

В множестве комплексных чисел cтепенью многочлена одной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности. Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p(x) степени n возможно представить в виде a(xx1)…(xxn), где x1, …, xn — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа a ≠ 0 — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a(xx1)…(xxn), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых-одночленов, тождественно не равных нулю.

Это определение имеет обобщение: полная степень многочлена с несколькими переменными — это максимальная из степеней всех его одночленов, тождественно не равных нулю, относительно всех переменных, участвующих в них, одновременно.

Многочленное уравнение d переменных, которое с помощью равносильных преобразований можно привести к виду p(x1,…,xd) = 0, где полином p(x1, …, xd) имеет степень n, называется (многочленным) уравнением степени n.

Степень полинома обозначается deg (англ. degree, фр. degré, от лат. gradus + de-).

Названия определённых степеней

  • Степень многочлена, тождественно равного нулю, не определена, но в некоторых случаях её принимают равной −1 или −∞ (ниже).
  • Степень константы, не равной нулю, — 0.
  • Степень линейного многочлена — 1. Уравнение, в котором линейная функция приравнивается нулю, — уравнение 1-й степени.
  • Степень квадратного многочлена — 2. Соответствующее уравнение — уравнение 2-й степени.
  • Степень кубического многочлена — 3. Ему соответствует уравнение 3-й степени.

В d-мерном евклидовом пространстве (d − 1)-мерная поверхность, являющаяся решением уравнения p(x1,…,xd) = 0 степени n с декартовыми координатами x1, …, xd, называется (d − 1)-мерной поверхностью n-го порядка. Термин порядок фактически означает степень уравнения. Отдельные названия гиперповерхностей:

  • квадрика — гиперповерхность второго порядка. В одномерном случае квадрика представляет собой конику — плоскую кривую, один из эквивалентных способов получить которую — пересечь прямой круговой конус плоскостью;
  • кубика — гиперповерхность третьего порядка. Примеры плоских кубик: кубика Чирнгауза, полукубическая парабола;
  • квартика — гиперповерхность 4-го порядка: например, квартика Люрота.

Примеры

  • Многочлен x(x − 2) имеет вторую степень, так как он состоит из двух линейных сомножителей.
  • У многочлена (2x − 1)(3x − 2) коэффициенты 2 и 3 можно вынести за скобки: 2 × 3(x − 12)(x − 23), — так что он имеет степень 2.
  • У многочлена 16x5 + (−20)x3 + 5x + (−1) одночлен с наибольшей степенью — это 16x5, а значит, степень многочлена равна 5.
  • Многочлены могут быть записаны в неканоническом виде: например, полином (x2 + 1)2 − (−x2 + 1)2 имеет степень 2, так как он представляет собой одночлен 2x2.
  • Многочлен 2(2xy)xy является третьей степени.
  • Многочлен x2 + y имеет вторую степень, поскольку одночлен с наибольшей степенью равен x2, причём этот многочлен уже нельзя разложить на линейные множители от x и y.
  • Степень многочлена xy + y + x равна 2.
  • Степень многочлена при операциях над ними

    Умножение

    При умножении ненулевого многочлена p(x) на ненулевую константу c степень не изменяется:

    deg ⁡ ( c p ( x ) ) = deg ⁡ p ( x ) . {displaystyle deg {ig (}cp(x){ig )}=deg p(x).}

    Например, степень полинома 6(x − 12)(x − 23) = 6x2 − 5x + 2, как и (x − 12)(x − 23) = x2 + −56x + 13, равна 2. В более общем случае степень произведения полиномов p(x) и q(x) равна сумме степеней этих полиномов:

    deg ⁡ ( p ( x ) q ( x ) ) = deg ⁡ p ( x ) + deg ⁡ q ( x ) . {displaystyle deg {ig (}p(x)q(x){ig )}=deg p(x)+deg q(x).}

    К примеру, степень многочлена (x2 + 1)(x3 − x − 1) = x5 − x2 − x − 1 равна 2 + 3 = 5.

    Сложение, вычитание

    Степень суммы ненулевых многочленов не может быть больше максимальной из их степеней:

    deg ⁡ ( p ( x ) + q ( x ) ) ⩽ max ( deg   p ( x ) , deg ⁡ q ( x ) ) . {displaystyle deg {ig (}p(x)+q(x){ig )}leqslant max {ig (}{deg }~p(x),deg q(x){ig )}.}

    То же самое неравенство верно и для разности:

    deg ⁡ ( p ( x ) − q ( x ) ) ⩽ max ( deg   p ( x ) , deg ⁡ ( − 1 ⋅ q ( x ) ) ) = max ( deg   p ( x ) , deg ⁡ q ( x ) ) . {displaystyle deg {ig (}p(x)-q(x){ig )}leqslant max {ig (}{deg }~p(x),deg(-1cdot q(x)){ig )}=max {ig (}{deg }~p(x),deg q(x){ig )}.}

    При этом если степени многочленов-слагаемых различаются, то вышенаписанные соотношения обращаются в равенства. Например, многочлен (x2 + 1)2 имеет четвёртую степень, (x + 1)2 — вторую, а многочлены (x2 + 1)2 ± (x + 1)2 — 4-ю.

    Композиция

    Пусть p(x) и q(x) — ненулевые многочлены. Тогда:

    deg ⁡ [ q ∘ p ( x ) ] = deg ⁡ [ p ∘ q ( x ) ] = deg ⁡ p ( x ) deg ⁡ q ( x ) . {displaystyle deg[qcirc p(x)]=deg[pcirc q(x)]=deg p(x)deg q(x).}

    Например, если p(x) = x2 + 1, q(x) = x3 + 1, то степени многочленов pq(x) = x6 + 2x3 + 2 и qp(x) = x6 + 3x4 + 3x2 + 2 равны 2 × 3 = 6.

    Степень многочлена нескольких переменных

    Как и в случае с одной переменной, (полная) степень одночлена нескольких переменных — сумма всех показателей степеней всех переменных в одночлене. К примеру, полная степень одночлена x1y2x3 относительно x и y равна 1 + 2 + 3 = 6.

    В свою очередь, (полная) степень многочлена нескольких переменных — это максимальная из степеней всех его одночленов. Пример: многочлен xy + y + x имеет степень 2, так как одночлен с наибольшей степенью — xy.

    Помимо этого, степень многочлена нескольких переменных может также рассматриваться относительно одной из переменных. Например, полином x2 + y2 + xy + x + y имеет 2-ю степень относительно x и ту же степень относительно y. Причём относительно x этот полином раскладывается на комплексные линейные множители так:

    x 2 + y 2 + x y + x + y = ( x − − y − 1 − ( y + 1 ) ( − 3 y + 1 ) 2 ) ( x − − y − 1 + ( y + 1 ) ( − 3 y + 1 ) 2 ) , {displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=left(x-{ frac {-y-1-{sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}} ight)left(x-{ frac {-y-1+{sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}} ight),}

    а относительно y:

    x 2 + y 2 + x y + x + y = ( y − − x − 1 − ( x + 1 ) ( − 3 x + 1 ) 2 ) ( y − − x − 1 + ( x + 1 ) ( − 3 x + 1 ) 2 ) . {displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=left(y-{ frac {-x-1-{sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}} ight)left(y-{ frac {-x-1+{sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}} ight).}

    Иногда на степень полинома относительно конкретной переменной могут влиять другие переменные: например, полином (x2 + 1)y2 + (x + 1)y + 1 четвёртой степени является квадратным относительно y, только если x не равняется ±i, — в противном случае одночлен (x2 + 1)y2 обратится в нуль и многочлен станет линейным: его нельзя будет разложить на два линейных множителя (относительно y).

    Степень нулевого многочлена

    Степень многочлена, равного 0 при любом значении переменной(-ых), считается либо неопределённой, либо отрицательной — как правило, −1 или −∞.

    В случае, когда степень такого многочлена не определена, полагают, что нулевой многочлен, строго говоря, вообще не имеет никаких одночленов-слагаемых, которые тождественно не равнялись бы нулю. Соответственно, для нулевого многочлена совсем не вводятся никакие вышенаписанные свойства степеней при преобразовании многочленов.

    При этом в случае, когда степень нулевого полинома принимают равной −∞, сохраняются все свойства, приведённые выше, исключая, быть может, композицию. Для любого вещественного числа n по определению выполняются следующие свойства (свойства аффинно расширенной числовой прямой):

    • max ( − ∞ , n ) = n ; {displaystyle max(-infty ,n)=n;}
    • − ∞ + n = − ∞ . {displaystyle -infty +n=-infty .}

    Соответственно, сами степени многочленов «ведут себя» следующим образом: если p(x) — ненулевой многочлен степени n, то

    • deg ⁡ ( p ( x ) + 0 ) = deg ⁡ p ( x ) = n ⩽ max ( deg ⁡ p ( x ) , deg ⁡ 0 ) = max ( n , − ∞ ) = n ; {displaystyle deg(p(x)+0)=deg p(x)=nleqslant max(deg p(x),deg 0)=max(n,-infty )=n;}
    • deg ⁡ ( p ( x ) ⋅ 0 ) = deg ⁡ 0 = − ∞ , {displaystyle deg(p(x)cdot 0)=deg 0=-infty ,} а с другой стороны, deg ⁡ p ( x ) + deg ⁡ 0 = n − ∞ = − ∞ . {displaystyle deg p(x)+deg 0=n-infty =-infty .}