Пример Данжуа

В теории динамических систем, пример Данжуа — пример C 1 {displaystyle C^{1}} -диффеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения, имеющего канторово инвариантное множество (и, соответственно, не сопряжённого чистому повороту). М. Эрманом были затем построены примеры такого диффеоморфизма в классе гладкости C 1 + ε {displaystyle C^{1+varepsilon }} (то есть, C 1 {displaystyle C^{1}} с гёльдеровой производной с показателем ε {displaystyle varepsilon } ) для любого ε < 1 {displaystyle varepsilon <1} . Эта гладкость не может быть далее увеличена: для диффеоморфизмов с липшицевой производной (и даже с производной, логарифм которой имеет ограниченную вариацию) имеет место теорема Данжуа, утверждающая, что такой диффеоморфизм с иррациональным числом вращения сопряжён иррациональному повороту (на соответствующее число вращения).

Конструкция

Пример гомеоморфизма

Проще всего предъявляется пример гомеоморфизма окружности, число вращения которого иррационально, но который, тем не менее, не минимален. А именно, рассмотрим поворот R {displaystyle R} на некоторый иррациональный угол α {displaystyle alpha } , и выберем произвольную начальную точку x 0 {displaystyle x_{0}} . Рассмотрим её орбиту x n = R n ( x 0 ) {displaystyle x_{n}=R^{n}(x_{0})} (при всех целых n {displaystyle n} , как положительных, так и отрицательных). Произведём следующую перестройку: в каждой точке x n {displaystyle x_{n}} разрежем окружность и вклеим интервал I n {displaystyle I_{n}} некоторой длины l n > 0 {displaystyle l_{n}>0} , так, чтобы сумма длин вклеенных интервалов сходилась:

∑ n = − ∞ ∞ l n < ∞ . {displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }l_{n}<infty .}

Тогда получившееся после такой вклейки множество по-прежнему будет окружностью, более того, на ней будет естественная мера Лебега (состоящая из меры Лебега на разрезанной старой окружности и меры Лебега на вклеенных интервалах), то есть длина — и, тем самым, гладкая структура. Произвольным образом продолжив отображение R {displaystyle R} со старой окружности так, чтобы оно переводило интервал I n {displaystyle I_{n}} в интервал I n + 1 {displaystyle I_{n+1}} , — например, выбрав в качестве продолжения аффинное отображение из I n {displaystyle I_{n}} в I n + 1 {displaystyle I_{n+1}} , — мы получаем гомеоморфизм f новой окружности с тем же числом вращения α {displaystyle alpha } . Однако, у этого гомеоморфизма есть канторово инвариантное множество K {displaystyle K} (замыкание множества точек старой окружности), и потому он не может быть сопряжён иррациональному повороту.

Выбрав последовательность длин l n {displaystyle l_{n}} так, чтобы последовательность отношений l n / l n + 1 {displaystyle l_{n}/l_{n+1}} оставалась ограниченной при n → ± ∞ {displaystyle n o pm infty } , для конструкции с аффинным продолжением можно добиться липшицевости построенного гомеоморфизма. Однако, чтобы построенное отображение было диффеоморфизмом, выбор продолжения на отрезки I n {displaystyle I_{n}} следует сделать более тонко.

Пример в классе C 1 {displaystyle C^{1}}

Пример в классе C 1 {displaystyle C^{1}} строится так, чтобы производная построенного диффеоморфизма f {displaystyle f} на канторовом множестве K {displaystyle K} — замыкании множества точек исходной окружности — равнялась бы 1 (поскольку мера Лебега на этом множестве сохраняется построенным диффеоморфизмом, это необходимое условие при такой конструкции). Поэтому, необходимо выбирать переставляющие интервалы I n {displaystyle I_{n}} ограничения φ n = f | I n : I n → I n + 1 {displaystyle varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n} o I_{n+1}} так, чтобы выполнялись следующие условия:

• (D1) Производная φ n {displaystyle varphi _{n}} в концах интервала I n {displaystyle I_{n}} равна 1.
• (D2) При n → ± ∞ {displaystyle n o pm infty } , производные отображений φ n {displaystyle varphi _{n}} равномерно стремятся к 1.

Последнее условие необходимо, так как с ростом n {displaystyle n} интервалы I n {displaystyle I_{n}} накапливаются к канторовому множеству K {displaystyle K} . Более того, несложно видеть, что эти условия и достаточны для того, чтобы построенное отображение f {displaystyle f} было бы C 1 {displaystyle C^{1}} -диффеоморфизмом.

В силу теоремы Лагранжа, на отрезке I n {displaystyle I_{n}} найдётся точка, производная в которой будет равна l n + 1 / l n {displaystyle l_{n+1}/l_{n}} . Второе условие поэтому требует, чтобы для последовательности l n {displaystyle l_{n}} имело место

lim n → ± ∞ l n / l n + 1 = 1. ( ∗ ) {displaystyle lim _{n o pm infty }l_{n}/l_{n+1}=1.qquad (*)}

Как оказывается, это условие на длины для построения C 1 {displaystyle C^{1}} -диффеоморфизма является и достаточным. А именно, отображения φ n {displaystyle varphi _{n}} выбираются следующим образом: на отрезках I n {displaystyle I_{n}} и I n + 1 {displaystyle I_{n+1}} вводятся координаты, отождествляющие их с отрезками [ − l n / 2 , l n / 2 ] {displaystyle [-l_{n}/2,l_{n}/2]} и [ − l n + 1 / 2 , l n + 1 / 2 ] {displaystyle [-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]} соответственно, и отображение φ n {displaystyle varphi _{n}} выбирается как

φ n = F l n + 1 − 1 ∘ F l n , ( ∗ ∗ ) {displaystyle varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}circ F_{l_{n}},qquad (**)}

где

F l : [ − l / 2 , l / 2 ] → R , F l ( x ) = l tan ⁡ π x l . ( ∗ ∗ ∗ ) {displaystyle F_{l}:[-l/2,l/2] o mathbb {R} ,quad F_{l}(x)=l an {frac {pi x}{l}}.qquad (***)}

Несложная выкладка показывает тогда, что производная φ n {displaystyle varphi _{n}} в любой точке отклоняется от 1 в не больше, чем c o n s t ⋅ | 1 − l n l n + 1 | {displaystyle mathrm {const} cdot |1-{frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|} , поэтому условия (*) достаточно для выполнения второго необходимого условия D2. С другой стороны, столь же несложно видеть, что условие D1 также выполнено (именно для этого тангенс в формуле (***) и умножался на l: тогда скорость ухода на бесконечность на концах это 1 / x {displaystyle 1/x} , и не зависит от длины интервала l — поэтому композиционное частное касается тождественного отображения).

Выбор любой удовлетворяющей (*) последовательности l n {displaystyle l_{n}} со сходящейся суммой — например, l n = 1 / ( 1 + n 2 ) , {displaystyle l_{n}=1/(1+n^{2}),} — и завершает построение.

Пример в классе C 1 + ϵ {displaystyle C^{1+epsilon }}

Пример в классе C 1 + ε {displaystyle C^{1+varepsilon }} предъявляется уже описанной выше конструкцией, но с более тонкими условиями на длины l n {displaystyle l_{n}} . А именно, как несложно видеть, построенный диффеоморфизм будет иметь гёльдерову производную тогда и только тогда, когда производные всех ограничений φ n {displaystyle varphi _{n}} равномерно по n {displaystyle n} гёльдеровы. Действительно, сравнивая производные в точках из разных отрезков, можно подразбить эту разность производными в промежуточных концевых точках (поскольку производная в концевой точке всегда равна 1), и воспользоваться неравенством треугольника (в худшем случае, удвоив константу Гёльдера).

Поскольку на отрезке I n {displaystyle I_{n}} есть точка с производной l n + 1 / l n {displaystyle l_{n+1}/l_{n}} (по теорема Лагранжа) и есть точка, производная в которой равна 1 (это концевая точка), константа Гёльдера для показателя Гёльдера ε {displaystyle varepsilon } не может быть меньше, чем

( | 1 − l n + 1 l n ) / l n ε = | l n + 1 − l n | l n 1 + ε . ( L ) {displaystyle (|1-{frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{varepsilon }={frac {|l_{n+1}-l_{n}|}{l_{n}^{1+varepsilon }}}.qquad (L)}

Поэтому выражение (L) должно быть ограничено при n → ± ∞ {displaystyle n o pm infty } . Как оказывается, это условие ограниченности и достаточно — явная выкладка показывает, что точная константа Гёльдера ограничения φ n {displaystyle varphi _{n}} отличается от оценки снизу (L) не более, чем в константу раз. Для завершения конструкции остаётся предъявить двусторонне-бесконечную последовательность l n {displaystyle l_{n}} со сходящейся суммой, для которой выражение (L) остаётся ограниченным. Примером такой последовательности является

l n = 1 m ln 2 ⁡ m , m = 2 + | n | , {displaystyle l_{n}={frac {1}{mln ^{2}m}},quad m=2+|n|,}

подходящая одновременно для всех ε < 1 {displaystyle varepsilon <1} .

Предъявляение такой последовательности и завершает конструкцию — построенный диффеоморфизм принадлежит классу C 1 + ε {displaystyle C^{1+varepsilon }} с любым ε < 1 {displaystyle varepsilon <1} .