Преобразование Мёбиуса

Преобразование Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства R n ^ = R n ∪ { ∞ } {displaystyle {widehat {mathbb {R} ^{n}}}=mathbb {R} ^{n}cup {infty }} , представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостей. .

В англоязычной литературе термин преобразование Мёбиуса часто определяют только для расширенной комплексной плоскости C ^ = C ∪ { ∞ } {displaystyle {widehat {mathbb {C} }}=mathbb {C} cup {infty }} как преобразование f : C ^ → C ^ {displaystyle f:{widehat {mathbb {C} }} o {widehat {mathbb {C} }}} , задающееся при помощи дробно-линейной функции:

f ( x ) = { a x + b c x + d , x ≠ ∞ a c , x = ∞ a , b , c , d ∈ C , | a b c d | ≠ 0 {displaystyle f(x)={egin{cases}displaystyle {frac {ax+b}{cx+d}},&x eq infty displaystyle {frac {a}{c}},&x=infty end{cases}}quad a,b,c,din mathbb {C} ,quad left|{egin{matrix}a&bc&dend{matrix}} ight| eq 0}

Это определение может рассматриваться как частный случай общего для n = 2 {displaystyle n=2} , поскольку если расширенную комплекную плоскость C ^ = C ∪ { ∞ } {displaystyle {widehat {mathbb {C} }}=mathbb {C} cup {infty }} представить себе как R 2 ^ = R 2 ∪ { ∞ } {displaystyle {widehat {mathbb {R} ^{2}}}=mathbb {R} ^{2}cup {infty }} , то определения эквивалентны. В русскоязычной литературе для дробно-линейных функций комплексных чисел используют термин дробно-линейное преобразование.

Для случая n = 1 {displaystyle n=1} одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.

Проективно расширенная числовая прямая

В случае n = 1 {displaystyle n=1} пространство R ∪ { ∞ } {displaystyle mathbb {R} cup {infty }} представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

f ( x ) = { a x + b c x + d , x ≠ ∞ a c , x = ∞ a , b , c , d ∈ R , | a b c d | ≠ 0 {displaystyle f(x)={egin{cases}displaystyle {frac {ax+b}{cx+d}},&x eq infty displaystyle {frac {a}{c}},&x=infty end{cases}}quad a,b,c,din mathbb {R} ,quad left|{egin{matrix}a&bc&dend{matrix}} ight| eq 0}

Расширенная комплексная плоскость

В случае n = 2 {displaystyle n=2} пространство R 2 ∪ { ∞ } {displaystyle mathbb {R} ^{2}cup {infty }} можно рассматривать как расширенную комплексную плоскость. При таком рассмотрении преобразование Мёбиуса также называется дробно-линейным преобразованием и допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

f ( x ) = { a x + b c x + d , x ≠ ∞ a c , x = ∞ a , b , c , d ∈ C , | a b c d | ≠ 0 {displaystyle f(x)={egin{cases}displaystyle {frac {ax+b}{cx+d}},&x eq infty displaystyle {frac {a}{c}},&x=infty end{cases}}quad a,b,c,din mathbb {C} ,quad left|{egin{matrix}a&bc&dend{matrix}} ight| eq 0}

В пространстве размерности 2 преобразование Мёбиуса переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности. Его можно рассматривать либо точечное преобразование, либо как преобразование обобщённых окружностей:

• как точечное преобразование преобразование Мёбиуса — преобразование расширенной евклидовой плоскости такое, что окружность или прямая переходят в окружность или прямую. Имеем точечную аналлагматическую геометрию;
• как неточечное преобразование преобразование Мёбиуса — частный случай контактного преобразования, в котором основной элемент — не точка, а окружность. Имеем круговую аналлагматическую геометрию.

Легко проверяются следующие простые свойства:

Тождественное отображение f ( z ) = z {displaystyle f(z)=z} также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить a = d = 1 , b = c = 0. {displaystyle a=d=1,;b=c=0.}

Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.

Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойства

При умножении параметров a {displaystyle a} , b {displaystyle b} , c {displaystyle c} , d {displaystyle d} на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы G L 2 ( C ) {displaystyle GL_{2}(mathbb {C} )} , то есть имеет место эпиморфизм: ( a b c d ) → a z + b c z + d {displaystyle left({egin{matrix}a&&bc&&dend{matrix}} ight) o {frac {az+b}{cz+d}}} .

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца S O ↑ ( 1 , 3 ) {displaystyle SO^{uparrow }(1,;3)} .

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию a d − b c = 1 {displaystyle ad-bc=1} . Тогда, в зависимости от следа этой матрицы, равного a + d {displaystyle a+d} , можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

• эллиптические: | a + d | < 2 {displaystyle |a+d|<2} ;
• параболические: a + d = ± 2 {displaystyle a+d=pm 2} ;
• гиперболические: | a + d | > 2 {displaystyle |a+d|>2} .

Геометрические свойства

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение f ( z ) = a z + b c z + d {displaystyle f(z)={frac {az+b}{cz+d}}} разложимо в суперпозицию четырёх функций:

f ( z ) = f 4 ( f 3 ( f 2 ( f 1 ( z ) ) ) ) , {displaystyle f(z)=f_{4}(f_{3}(f_{2}(f_{1}(z)))),}

где

f 1 ( z ) = z + d c , f 2 ( z ) = 1 z , f 3 ( z ) = − a d − b c c 2 z , f 4 ( z ) = z + a c . {displaystyle {egin{matrix}f_{1}(z)&=&z+{dfrac {d}{c}},f_{2}(z)&=&{dfrac {1}{z}},f_{3}(z)&=&-{dfrac {ad-bc}{c^{2}}}z,f_{4}(z)&=&z+{dfrac {a}{c}}.end{matrix}}}

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек z 1 , z 2 , z 3 {displaystyle z_{1},;z_{2},;z_{3}} существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки w 1 , w 2 , w 3 {displaystyle w_{1},;w_{2},;w_{3}} . Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка w ( z ) {displaystyle w(z)} является образом точки z {displaystyle z} , то выполняется равенство

( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z ) ( z 1 − z ) ( z 2 − z 3 ) = ( w 1 − w 3 ) ( w 2 − w ( z ) ) ( w 1 − w ( z ) ) ( w 2 − w 3 ) , {displaystyle {frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z)}{(z_{1}-z)(z_{2}-z_{3})}}={frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w(z))}{(w_{1}-w(z))(w_{2}-w_{3})}},}

которое (при условии, что z i ≠ z j , w i ≠ w j {displaystyle z_{i} eq z_{j},w_{i} eq w_{j}} при i ≠ j {displaystyle i eq j} ) однозначно определяет искомое отображение w ( z ) . {displaystyle w(z).}

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

Преобразование Мёбиуса

f ( z ) = a z + b c z + d {displaystyle f(z)={frac {az+b}{cz+d}}}

является автоморфизмом единичного круга Δ = { z ∈ C : | z | < 1 } {displaystyle Delta ={zin {mathbb {C} }:,|z|<1}} тогда и только тогда, когда a b ¯ = c d ¯ {displaystyle a{ar {b}}=c{ar {d}}} и | a | = | d | > | c | {displaystyle |a|=|d|>|c|} .

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

f ( z ) = e i φ z + β β ¯ z + 1 , β ∈ Δ , | e i φ | = 1. {displaystyle f(z)=e^{ivarphi }{frac {z+eta }{{ar {eta }}z+1}},quad eta in Delta ,quad |e^{ivarphi }|=1.}

Примеры

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

W ( z ) = z − i z + i . {displaystyle W(z)={frac {z-i}{z+i}}.}

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость C + {displaystyle {mathbb {C} }^{+}} в единичный круг Δ {displaystyle Delta } .

Пространства старших размерностей

Начиная с n = 3 {displaystyle n=3} любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:

• f ( x ) = b + A ( x − a ) {displaystyle f(x)=b+A(x-a)}
• f ( x ) = b + A ( x − a ) | x − a | 2 {displaystyle f(x)=b+{dfrac {A(x-a)}{|x-a|^{2}}}} ,

где a , b ∈ R {displaystyle a,bin mathbb {R} } , A {displaystyle A} — ортогональная матрица.