Главная
Статьи





25.09.2022


25.09.2022


25.09.2022


25.09.2022


25.09.2022






Высота многочлена

17.08.2022

Высота и длина многочлена P с комплексными коэффициентами — это величины, обозначающие «размер» многочлена.

Также эти термины используются по отношению к самим алгебраическим числам: высота и длина алгебраического числа — это высота и длина его минимального многочлена.

Определение

Для многочлена P степени n, заданного формулой

P = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n , {displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+cdots +a_{n}x^{n},}

высота H(P) — это максимальная (по модулю) величина его коэффициентов:

H ( P ) = max i | a i | , {displaystyle H(P)={underset {i}{max }},|a_{i}|,}

а длина L(P) — это сумма модулей величин коэффициентов:

L ( P ) = ∑ i = 0 n | a i | . {displaystyle L(P)=sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.,}

Связь с мерой Малера

Мера Малера M(P) многочлена P также является мерой размера многочлена P. Три функции H(P), L(P) и M(P) связаны неравенствами

( n ⌊ n / 2 ⌋ ) − 1 H ( P ) ≤ M ( P ) ≤ H ( P ) n + 1 ; {displaystyle {inom {n}{lfloor n/2 floor }}^{-1}H(P)leq M(P)leq H(P){sqrt {n+1}};} L ( p ) ≤ 2 n M ( p ) ≤ 2 n L ( p ) ; {displaystyle L(p)leq 2^{n}M(p)leq 2^{n}L(p);} H ( p ) ≤ L ( p ) ≤ n H ( p ) {displaystyle H(p)leq L(p)leq nH(p)} ,

где ( n ⌊ n / 2 ⌋ ) {displaystyle scriptstyle {inom {n}{lfloor n/2 floor }}} — биномиальный коэффициент.