Главная
Статьи





06.10.2022


06.10.2022


06.10.2022


06.10.2022


05.10.2022






Метод Самокиша

18.08.2022

Метод Самокиша (Формула Стенжера) — метод численного интегрирования интегралов с особенностями.

Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка [ − 1 , 1 ] {displaystyle [-1,1]}

Пусть требуется вычислить I = ∫ − 1 1 f ( x ) d x {displaystyle I=int limits _{-1}^{1}f(x),dx} — оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании концов на бесконечность, заменой переменных:

x = th ⁡ ( t 2 ) = e t 2 − e − t 2 e t 2 + e − t 2 = e t − 1 e t + 1 {displaystyle x=operatorname {th} left({frac {t}{2}} ight)={frac {e^{frac {t}{2}}-e^{-{frac {t}{2}}}}{e^{frac {t}{2}}+e^{-{frac {t}{2}}}}}={frac {e^{t}-1}{e^{t}+1}}} d x = 1 2 1 ch 2 ⁡ ( t 2 ) d t = 2 e t ( e t + 1 ) 2 d t {displaystyle dx={frac {1}{2}}{frac {1}{operatorname {ch} ^{2}left({frac {t}{2}} ight)}}dt={frac {2e^{t}}{(e^{t}+1)^{2}}}dt} , тогда интеграл принимает следующий вид: I = ∫ − 1 1 f ( x ) d x = 2 ∫ − ∞ ∞ f ( e t − 1 e t + 1 ) e t ( e t + 1 ) 2 d t = 2 h ∑ n = − ∞ ∞ f ( e n h − 1 e n h + 1 ) e n h ( e n h + 1 ) 2 {displaystyle I=int limits _{-1}^{1}f(x),dx=2int limits _{-infty }^{infty }fleft({frac {e^{t}-1}{e^{t}+1}} ight){frac {e^{t}}{(e^{t}+1)^{2}}},dt=2hsum limits _{n=-infty }^{infty }fleft({frac {e^{nh}-1}{e^{nh}+1}} ight){frac {e^{nh}}{(e^{nh}+1)^{2}}}}

Интеграл берется по формуле трапеций. Пусть q = e h {displaystyle q=e^{h}} ,где h = b − a m {displaystyle h={frac {b-a}{m}}} , m — количество промежутков деления, тогда :

I = ∫ − 1 1 f ( x ) d x = 2 h ∑ n = − ∞ ∞ f ( q n − 1 q n + 1 ) q n ( q n + 1 ) 2 {displaystyle I=int limits _{-1}^{1}f(x),dx=2hsum limits _{n=-infty }^{infty }fleft({frac {q^{n}-1}{q^{n}+1}} ight){frac {q^{n}}{(q^{n}+1)^{2}}}}

Суммирование заканчивается, когда остаток ряда меньше заданного ε {displaystyle varepsilon } , которое по Самокишу равно e π q {displaystyle e^{pi q}} .

Библиография

  • F. Stenger. Integration formulae based on the trapezoidal formula. — J. Inst.: Math. Appl., 1973. — P. 103-114.
  • S. Beighton, B. Noble. An Error Estimate for Stanger’s Quadrature Formula. — Mathematics of Computation, 1982. — Т. 38. — С. 539-545.
  • Самокиш Б. А. Квадратурные формулы для интегралов от функций, аналитических внутри отрезка. — Ленинград: Вест., 1990. — Т. 1. — С. 42-49.
  • Марданов А. А. О вычислении сингулярных интегралов с плотностью, аналитической внутри отрезка.. — Труды ФОРА, 2003. — Т. 8. — С. 99-110.